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COMPORTAMIENTO CAÓTICO
¿Se puede predecir el futuro?

Seguramente habrás escuchado alguna vez la frase "el futuro está escrito" y te habrás preguntado qué hay de cierto en tal afirmación. La filosofía del determinismo sostiene que todo acontecimiento de cualquier naturaleza está inevitablemente determinado por una causa anterior en una inquebrantable cadena de sucesiones "causa y efecto..."

En base a esto, e independientemente de que la cadena de sucesos sea invulnerable, es lógico pensar que el futuro es predecible. A veces observando un poco y haciendo uso del sentido común se puede llegar a certeras conclusiones, pero otras veces hacen falta fórmulas complejas con infinidad de parámetros para lograr una ligera aproximación a la realidad. Un ejemplo es el clima, fenómeno del que se puede realizar una buena predicción a corto plazo, pero que a largo plazo se desvía irremediablemente de lo previsto. ¿Por qué ocurre esto? veamos un ejemplo sencillo:

Imaginemos un planeta en el que solo existen una especie animal y otra vegetal que le sirve de alimento. Como la especie animal no tiene depredadores el índice de crecimiento de su población depende básicamente del nacimiento de nuevos individuos, de la muerte de los individuos mayores y en un caso extremo de la falta de alimento vegetal.

Supongamos que la población inicial es de treinta individuos y tras un año estudiando el ecosistema vemos que la población ha crecido hasta treinta y seis, lo que fija el índice de crecimiento en un veinte por ciento anual: (36 - 30) / 30 * 100 = 20%.

30 + 20% = 36 --> 30 * (1 + 20 / 100) = 36

 

Representándolo en una función tenemos Xn = qXn-1 donde Xn es la población de un año concreto calculada a partir de la población del año anterior Xn-1 a la que se le aplica el índice de crecimiento q.

q = (1 + 20/100) = 1,2

X1 = qX0 --> X1 = 1,2*30 = 36

 

Suponiendo que el índice de crecimiento permanece constate podemos calcular como progresa la población a medida que transcurre el tiempo y representarlo en un gráfico:

Primer año: X1 = 1,2*30 = 36

Segundo año: X2 = 1,2*36 = 43,20

Tercer año: X3 = 1,2*43,20 = 51,84...

Progreso de la población

Relación entre la población de un año concreto en el eje Xn respecto a la del año anterior en el eje Xn-1 con un índice de crecimiento del 20%.

 

Como vemos la población aumenta continuamente a medida que pasan los años, lo que indica que el modelo de ecosistema no es válido, ya que llegaría un momento en el que la comida empezaría a escasear y la población de animales se resentiría. Esta situación se da porque la función que utilizamos es lineal como puede verse en el siguiente gráfico:

Crecimiento lineal

Población final en el eje X1 que se obtiene al aplicar el índice de crecimiento del 20% a diferentes valores de población inicial en el eje X0. La pendiente de la línea representa el ritmo de cambio dado por el índice de crecimiento.

 

Para incorporar a la función el problema de escasez de alimento hay que crear un índice que revele las posibilidades que tiene los animales de alimentarse y por tanto que regule el índice de crecimiento de la población.

A partir de este punto trabajaremos con valores más manejables utilizando fracciones entre cero y uno. El valor 1 representa el mayor número posible de individuos y el valor 0 representa la extinción de la especie.

 

Teniendo en cuenta que la población de animales puede llegar a un número máximo en el que se coma todos los vegetales, deducimos que la cantidad de vegetales disponibles es inversamente proporcional al número de animales que se alimentan de ellos.

Podemos representar este equilibrio como Y = 1 – X, donde Y es la cantidad de vegetales y X es la cantidad de animales. Si el número de animales aumenta hasta su nivel máximo X = 1, se comerán todos los vegetales Y = 1 – 1 = 0, en cambio si el número de animales disminuye hasta su extinción X = 0, los vegetales proliferaran hasta alcanzar su nivel máximo Y = 1 – 0 = 1.

Asumiendo que sin alimento los animales se extinguirán, podemos incorporar la expresión Y = 1 – X a la función como índice de supervivencia: Xn = qXn-1(1 – Xn-1).

Con esta modificación conseguimos una función no lineal:

Crecimiento no lineal

Población final en el eje X1 que se obtiene al aplicar el índice de crecimiento del 20% a diferentes valores de población inicial en el eje X0.

 

En el gráfico se ve como la población solo puede aumentar hasta cierto nivel. Cuando se encuentre al cincuenta por ciento solo quedará alimento para que durante ese año sobreviva el treinta por ciento de los individuos.

Ahora, con la función corregida Xn = qXn-1(1 – Xn-1), vamos a calcular el progreso de una población año tras año. Para ello fijamos el valor inicial de la población en 0,1 y el índice de crecimiento en el 60%: q = (1 + 60 / 100) = 1,6.

Tabla de progreso con valor estable a los 23 años

 

Como vemos, transcurridos veintitrés años la población final alcanza un valor estable de 0,375. ¿Simple casualidad? veamos que ocurre con diferentes valores de población inicial, por ejemplo 0,3 y 0,5:

Tabla de progreso con valor estable a los 19 años  Tabla de progreso con valor estable a los 18 años

 

¡La población alcanza el mismo valor final! En el caso de una población inicial de 0,3 al cabo de diecinueve años y en el caso de una población inicial de 0,5 al cabo de dieciocho años. Esto nos lleva a la conclusión de que una vez fijado el índice de crecimiento, la población tiene el "futuro escrito" independientemente del número de individuos que la compongan.

Veamos ahora un ejemplo de extinción de la especie. Para que se de esta situación el índice de crecimiento tiene que ser negativo de manera que se cumpla q < 1. Por ejemplo, si lo fijamos en -60% obtenemos q = (1 – 60/100) = 0,4. Como sabemos, el valor inicial de población solo influye en que el destino se cumpla tarde o temprano. Para este ejemplo lo fijaremos en 0,3:

Tabla de progreso con extinción

 

Al cabo de veinte años la población se extingue. Pero esta función esconde mucho más, veamos qué ocurre si la población se multiplica a pasos agigantados con un índice de crecimiento del 220% y otro del 250%:

Tabla de progreso con periodo 2  Tabla de progreso con periodo 4

 

¡Aparece un comportamiento periódico! En el primer caso se dan dos valores finales para la población, que cambian año tras año repitiéndose en periodos de dos años, y en el segundo caso se dan cuatro valores finales para la población, que cambian año tras año repitiéndose en periodos de cuatro años.

Si seguimos aumentando poco a poco el índice de crecimiento, veremos que aparecen periodos de ocho años, dieciséis años, etc. así hasta llegar a un punto muy especial en el que la función empieza a comportarse de manera caótica. Por ejemplo, con un índice de crecimiento del 260% los valores finales de la población son diferentes cada año sin cumplir ninguna periodicidad, de hecho cambian en una secuencia que parece completamente aleatoria.

Como consecuencia de la no periodicidad, el valor de la población inicial es determinante año tras año para el cálculo de la población final, de manera que si cambiamos un solo decimal en su valor haremos que la secuencia final también cambie.

Veamos las diferencias en la población final cuando la población inicial cambia de 0,5 a 0,5001:

Tabla de progreso caótico con población inicial de 0,5  Tabla de progreso caótico con población inicial de 0,5001  Tabla de diferencia entre progresos caóticos

 

Podemos representar la periodicidad de la función en un grafico que relacione el índice de crecimiento con sus posibles valores de población final:

Diagrama de bifurcación

Población final en el eje X1 que se obtiene al aplicar diferentes índices de crecimiento en el eje q a la población inicial.

 

Analizando el gráfico podemos ver lo siguiente:

  1. Zona de extinción para valores de q comprendidos entre 0 y 1.
  2. Zona estacionaria para valores de q comprendidos entre 1 y 3.
  3. Zonas periódicas para valores de q comprendidos entre 3 y 3,56.
  4. Zona caótica para valores de q superiores a 3,56.
  5. Interrupciones de la zona caótica por pequeñas zonas periódicas.

 

Veamos una interrupción de la zona caótica ampliada:

Diagrama de bifurcación

Imagen ampliada de una bifurcación

 

Como se ve en la imagen, la interrupción es ocasionada por un cambio de comportamiento donde la función empieza de nuevo a ser periódica. A su vez podemos observar pequeñas franjas verticales de color blanco que antes pasaban desapercibidas y que también representan zonas periódicas. La zona caótica aparece llena de puntos negros y blancos debido a que la función se ha iterado solo 512 veces, pero si aumentásemos el número de iteraciones veríamos que es completamente negra, ya que con el tiempo se darían todos los valores posibles de población final para un mismo índice de crecimiento.
Como se aprecia, este gráfico de bifurcación tiene claramente una estructura fractal, lo que nos revela la estrecha relación entre el orden y el caos: las bifurcaciones acaban en bifurcaciones más pequeñas y así sucesivamente hasta desembocar en el caos, que a su vez es origen nuevas bifurcaciones auto semejantes entre sí.

...

Ahora que conocemos el comportamiento de una función no lineal volvamos a hablar de la previsión climática: imaginemos que los índices climáticos se mueven en una región caótica y que la temperatura del aire es un parámetro de la fórmula que tenemos que medir para introducirlo. Si la medición de la temperatura tiene un pequeño margen de error (dado por las características propias del termómetro) la previsión climática se verá alterada, sobre todo a largo plazo donde el margen de error crecerá incontroladamente.

Para finalizar imaginemos un sistema en el que sus índices se mueven en la zona periódica. Por ejemplo, supongamos que la salud general de una persona es un índice que regula los latidos de su corazón. Mientras la persona lleve una vida sana su salud mantendrá el corazón latiendo a un ritmo adecuado de pulsaciones por minuto. Si el individuo experimenta un sobresalto las pulsaciones aumentarán, pero el índice de salud, que no se ha visto alterado, funcionará como agente regulador para corregir el ritmo hasta su nivel periódico. Si el índice de salud no hubiera sido el adecuado, el corazón podría haber entrado en una arritmia o comportamiento caótico.


Cavernícola fichado


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