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GEOMETRÍA FRACTAL
¿Simple curiosidad matemática?

En la vida diaria se nos presentan muchos problemas sencillos y sin darnos cuenta manejamos infinidad de "fórmulas" para solucionarlos. Por ejemplo, la experiencia nos dice que para almacenar objetos en un trastero la mejor forma es hacerlo en cajas: así podemos clasificar el contenido de cada una, y apilarlas de forma estable para aprovechar el espacio restante. El secreto está en que la caja, con su forma geométrica, permite crear un orden aparente del caos que vamos a esconder en ella.

La obsesión por utilizar formas geométricas para organizarlo todo viene de muy atrás:

 

Cavernícolas descubriendo las formas regularesNuestros antepasados vivían en un entorno natural donde apenas existían formas regulares.

Tenían sus sentidos adaptados para sobrevivir en un mundo caótico lleno de peligros, y es muy probable que quedasen maravillados al contemplar objetos de tales características.

Las formas regulares eran tan escasas en la naturaleza que se convirtieron en algo mágico.

Cavernícolas creando objetos con formas regularesPronto se dieron cuenta de la utilidad de aquellas formas tan puras y quisieron sacar provecho de ello.

Fabricaron infinidad de utensilios adaptados a sus necesidades, como por ejemplo la rueda, uno de los inventos más destacables.

Ser humano actual perfeccionando el uso de las formas regularesAsí fuimos transformando nuestro entorno durante miles de años hasta la actualidad, llegando a crear las fórmulas que hoy nos permiten manejar las formas regulares de manera más eficiente. A esto lo llamamos geometría clásica o euclídea.

La transformación fue tan grande, que todo lo que no era explicable mediante geometría euclídea lo considerábamos caótico y sin sentido.


Sin embargo existe otro tipo de geometría, que siempre ha estado ante nosotros, pero que nunca hemos sabido tratar con la herramienta adecuada hasta que hace poco surgiera una nueva rama de las matemáticas para su estudio. Se trata de la geometría de los objetos irregulares y se le puso el nombre de geometría fractal. Esta nueva idea está siendo ampliamente explotada en muchos ámbitos de la ciencia donde no para de dar sorpresas y de aclarar muchos de los problemas complejos que hasta ahora no comprendíamos. Para entender este nuevo concepto volvamos a la naturaleza...

Los elementos naturales son moldeados por una serie de fenómenos caóticos, que dan como resultado estructuras irregulares como las montañas, las nubes, etc. Fijemos nuestra atención en el mar e imaginemos que divisamos su horizonte. Si nos piden que dibujemos el paisaje que observamos utilizaríamos casi sin dudar la línea recta para representar la línea donde se juntan cielo y mar. Como ves, estaríamos utilizando un elemento de la geometría euclídea, que al igual que en el ejemplo de "las cajas y el trastero" escondería el componente caótico del elemento que estamos representando.

Línea del horizonte

Si utilizamos un telescopio para observar el horizonte veremos que la línea que lo describe no es tan recta como parece, sino que está delimitada por multitud de olas.

Olas en el horizonte

Si nos fijamos bien en cada ola veremos que su vez está compuesta por infinidad de olas más pequeñas, y así sucesivamente. Este fenómeno se llama auto semejanza a diferentes escalas y significa que una porción del objeto es similar al objeto completo.

Olitas en el horizonte

Cada subnivel de semejanza recibe el nombre de iteración (o repetición) y como resultado de esta estructura la línea del horizonte tiene mayor longitud que la línea recta. A medida que tengamos más iteraciones en cuenta para la medición su longitud tiende a infinito dentro del espacio topológico que ocupa.

Comparación de horizontes

Otra característica de este tipo de estructuras es que no tiene dimensión topológica* entera, sino dimensión fractal (o fraccionaria).

*Recordemos el concepto de dimensión topológica de Euclides, según el cual el punto tiene cero dimensiones, la línea tiene una (largo), la superficie tiene dos (largo x ancho) y el volumen tiene tres (largo x ancho x alto).

Ahora, ignorando su grosor, imaginemos que un folio es un objeto bidimensional que representa la superficie. Si lo arrugamos poco a poco empieza a aparecer un relieve que se abre paso por la tercera dimensión y dota al objeto de cierto volumen. Si seguimos el proceso llevándolo al extremo obtenemos una bola de papel, que parece un objeto tridimensional, pero su superficie no es lisa y las grietas hacen que no llegue a ocupar por completo la tercera dimensión. En este caso tenemos un objeto de entre dos y tres dimensiones.

En base a esto la dimensión fractal es la dimensión topológica del objeto más un factor dimensional que indica la capacidad que tiene de ocupar más dimensiones que las indicadas por su propia dimensión topológica.

Volviendo al tema que nos ocupa, el horizonte es representado por una línea, y las líneas euclídeas tienen dimensión igual a uno, pero en realidad la línea del horizonte tiene tendencia a llenar una muy pequeña superficie. Lograr una visión clara de esto quizás sea difícil, así que veamos un caso de esta característica llevada al extremo:

Curva de Hilbert

Se trata de la Curva de Hilbert, una única línea que sigue un patrón capaz de llenar el plano. Como se puede ver, al representarla con un mayor número de iteraciones en el mismo espacio, la línea llena por completo las dos dimensiones convirtiéndose en una superficie.

Con este simple análisis hemos comprobado que la línea del horizonte en el mar es una estructura compleja basada en patrones repetitivos sencillos, en este caso el patrón es la ola. Como vemos, lo que nos parece caótico en el fondo esconde un orden que lo caracteriza, y en este sentido la geometría fractal es una buena aproximación a la estructura real de las formas naturales. Esta rama de las matemáticas es aplicable a infinidad de objetos y comportamientos como pueden ser las ramificaciones que describe un rayo al avanzar por el aire, el movimiento de una avalancha de rocas, la distribución de estrellas y galaxias en el universo, las fluctuaciones en los valores de la bolsa, la dinámica en el crecimiento de una población, etc.

Como conclusión señalemos las características principales de una estructura fractal:

  • Su longitud tiende a infinito dentro del espacio topológico que ocupa.
  • Se genera mediante patrones repetitivos sencillos.
  • Presenta auto semejanza a diferentes escalas.
  • Tiene dimensión fractal o fraccionaria.

Cavernícola fichado


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