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NÚMEROS COMPLEJOS

A continuación se listan las principales operaciones con números complejos, mostrando en diferentes colores la descomposición de las funciones de variable compleja en su parte real e imaginaria:

 

CONTENIDO

  1. Módulo, magnitud o valor absoluto

  2. Norma

  3. Argumento o fase

  4. Conjugado

  5. Inverso

  6. Suma

  7. Resta

  8. Multiplicación

  9. División

  10. Potencia

  11. Exponencial

  12. Logaritmo

  13. Seno

  14. Coseno

  15. Seno hiperbólico

  16. Coseno hiperbólico

  17. Rotación

  18. Representación polar

  19. Representación binómica

 

MÓDULO, MAGNITUD O VALOR ABSOLUTO |Z|

Tomando el numero complejo Z = (a + bi) como un punto del plano de coordenadas, se trata de la distancia euclídea entre el origen de coordenadas y dicho punto.
Módulo de Z = |Z| = Módulo o valor absoluto

NORMA |Z|2

Dado el número complejo Z = (a + bi)
Norma de Z = |Z|2 = a * a + b * b

ARGUMENTO O FASE ØZ

Tomando el número complejo Z = (a + bi) como un punto del plano de coordenadas, se trata del ángulo sobre el eje X que forma el vector que cubre la distancia entre el origen de coordenadas y dicho punto.
Argumento de Z = ØZ = Arctan(b / a)

CONJUGADO Z’

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central.
Dado el número complejo Z = (a + bi)
Conjugado de Z = Z’ = (a - bi)

INVERSO 1/Z

Dado el número complejo Z
Inverso de Z = 1/Z = Z’/|Z|2

SUMA

Dados los números complejos Z = (a + bi) y W = (c + di)
Z + W = ((a + c) + (b + d)i)

RESTA

Dados los números complejos Z = (a + bi) y W = (c + di)
Z - W = ((a - c) + (b - d)i)

MULTIPLICACIÓN

Dados los números complejos Z = (a + bi) y W = (c + di)
Z * W = ((a * c - b * d) + (a * d + b * c)i)

DIVISIÓN

Dados los números complejos Z y W
Se calcula el Dividendo = Z * W’
Se calcula el Divisor = W * W’
Siendo el resultado de Dividendo = (a + bi) y el de Divisor = (c + di)
Z / W = Dividendo/Divisor = ((a / c) + (b / c)i)

POTENCIA Zn

Con exponente positivo:
Dados el número complejo Z y el número real n
Zn = |Z|n * (Cos(n * ØZ) + Sin(n * ØZ)i)

Con exponente negativo:
Dados el número complejo Z, el número real -n y siempre que Z ≠ 0
Z-n = 1/Zn

EXPONENCIAL Exp(Z)

Dado el número complejo Z = (a + bi)
Exp(Z) = eZ = (ea * Cos(b) + ea * Sin(b)i)

LOGARITMO Log(Z)

Dado el número complejo Z = (a + bi)
Log(Z) = (0,5 * Log(|Z|2) + Arctan(b/a)i)

SENO Sin(Z)

Dado el número complejo Z = (a + bi)
Sin(Z) = (Sin(a) * ((eb + e-b) / 2) + Cos(a) * ((eb - e-b) / 2)i)

COSENO Cos(Z)

Dado el número complejo Z = (a + bi)
Cos(Z) = (Cos(a) * ((eb + e-b) / 2) + -Sin(a) * ((eb - e-b) / 2)i)

SENO HIPERBÓLICO Sinh(Z)

Dado el número complejo Z = (a + bi)
Sinh(Z) = (Cos(b) * ((ea - e-a) / 2) + Sin(b) * ((ea + e-a) / 2)i)

COSENO HIPERBÓLICO Cosh(Z)

Dado el número complejo Z = (a + bi)
Cosh(Z) = (Cos(b) * ((ea + e-a) / 2) + Sin(b) * ((ea - e-a) / 2)i)

ROTACIÓN

Alrededor del origen:
Dados el número complejo Z = (a + bi) y el ángulo Alfa en Pi radianes (-grados * Pi / 180)
Rotación de Z = (a * Cos(Alfa) + b * Sin(Alfa) + -a * Sin(Alfa) + b * Cos(Alfa)i)

Alrededor de un punto dado:
Dados el número complejo Z = (a + bi), el ángulo Alfa en Pi radianes (-grados * Pi / 180) y las coordenadas centrales del giro (x, y)
Rotación de Z = (x + (a - x) * Cos(Alfa) + (b - y) * Sin(Alfa) + y - (a - x) * Sin(Alfa) + (b - y) * Cos(Alfa)i)

REPRESENTACIÓN POLAR

Dado el número complejo en forma binómica Z = (a + bi)
Siendo r el módulo y Ø el argumento
Z = r * (Cos(Ø) + iSin(Ø)) = r cis Ø

También se representa como rØ

REPRESENTACIÓN BINÓMICA

Dado el número complejo en forma polar Z = r cis Ø, o también representado como Z = rØ
Z = (r * Cos(Ø) + r * Sin(Ø)i)


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