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FUNCIONES ITERATIVAS

A continuación se listan y se detalladan por puntos las principales funciones iterativas para la representación de fractales matemáticos:

 

CONTENIDO

  1. Mandelbrot

  2. Julia

  3. Phoenix - Mandelbrot

  4. Phoenix - Julia

  5. Burning ship - Mandelbrot

  6. Burning ship - Julia

  7. Newton

  8. Halley

  9. Secante

  10. Householder

  11. Schröder

  12. Steffensen

  13. Laguerre

  14. Nova - Mandelbrot - Newton

  15. Nova - Julia - Newton

  16. Nova - Mandelbrot - Halley

  17. Nova - Julia - Halley

  18. Nova - Mandelbrot - Householder

  19. Nova - Julia - Householder

  20. Nova - Mandelbrot - Schröder

  21. Nova - Julia - Schröder

 

MANDELBROT

  • Partimos de la función Zn+1 = Zn2 + C
  • Variamos C con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de C fijamos el valor inicial de Z a cero y calculamos el nuevo valor de Z.
  • Iteramos la función mientras no se haya llegado al máximo de iteraciones y mientras el módulo de Z sea menor o igual que 2.

    Mandelbrot Fórmula de Mandelbrot

JULIA

  • Partimos de la función Zn+1 = Zn2 + C
  • Hacemos constante el valor C.
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z fijado como inicial calculamos el nuevo valor de Z.
  • Iteramos la función mientras no se haya llegado al máximo de iteraciones y mientras el módulo de Z sea menor o igual que 2.

PHOENIX - MANDELBROT

  • Partimos de la función Zn+1 = Zn2 + C + D * Zn-1
  • Variamos C con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de C fijamos los valores iniciales de Zn y Zn-1 a cero y calculamos el nuevo valor de Z.
  • Iteramos la función mientras no se haya llegado al máximo de iteraciones y mientras el módulo de Z sea menor o igual que 2.
  • La constante D es la distorsión Phoenix (por defecto 0,5).

PHOENIX - JULIA

  • Partimos de la función Zn+1 = Zn2 + C + D * Zn-1
  • Hacemos constante el valor C (por defecto 0.56667, 0).
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z fijamos el valor inicial de Zn-1 a cero y calculamos el nuevo valor de Z.
  • Iteramos la función mientras no se haya llegado al máximo de iteraciones y mientras el módulo de Z sea menor o igual que 2.
  • La constante D es la distorsión Phoenix (por defecto -0,5).

    Phoenix Fórmula de Phoenix

BURNING SHIP - MANDELBROT

  • Partimos de la función Zn+1 = Zn2 - C
  • Variamos C con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de C fijamos el valor inicial de Z a cero.
  • Convertimos Z en (|Re(Z)|, |Im(Z)|i) y Calculamos su nuevo valor.
  • Iteramos la función mientras no se haya llegado al máximo de iteraciones y mientras el módulo de Z sea menor o igual que 2.

    Burning Ship Fórmula de Burning Ship

BURNING SHIP - JULIA

  • Partimos de la función Zn+1 = Zn2 - C
  • Hacemos constante el valor C.
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z convertimos Z en (|Re(Z)|, |Im(Z)|i) y calculamos su nuevo valor.
  • Iteramos la función mientras no se haya llegado al máximo de iteraciones y mientras el módulo de Z sea menor o igual que 2.

NEWTON

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Newton para búsqueda de raíces: Zn+1 = Zn - (f(Zn) / f'(Zn)) * R
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • El exponente de Z es el número de raíces o atractores buscados (por defecto 3).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.
  • f'(Z) es la primera derivada de f(Z).
  • La tolerancia viene dada por Norma de (f(Zn) / f'(Zn)) * R

    Newton Fórmula de Newton

HALLEY

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Halley para búsqueda de raíces: Zn+1 = Zn - (2f(Zn) * f'(Zn) / (2f'(Zn)2 - f(Zn) * f''(Zn))) * R
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • El exponente de Z es el número de raíces o atractores buscados (por defecto 3).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.
  • f'(Z) es la primera derivada de f(Z).
  • f''(Z) es la segunda derivada de f(Z).
  • La tolerancia viene dada por Norma de (2f(Zn) * f'(Zn) / (2f'(Zn)2 - f(Zn) * f''(Zn))) * R

    Halley Fórmula de Halley

SECANTE

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Secante para búsqueda de raíces: Zn+1 = Zn- ((Zn - Zn-1) / (f(Zn) - f(Zn-1))) * f(Zn) * R
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • El exponente de Z es el número de raíces o atractores buscados (por defecto 3).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.
  • La tolerancia viene dada por Norma de ((Zn - Zn-1) / (f(Zn) - f(Zn-1))) * f(Zn) * R

    Secante Fórmula de Secante

HOUSEHOLDER

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Householder para búsqueda de raíces: Zn+1 = Zn - (f(Zn) / f'(Zn)) * [1 + (f(Zn) * f''(Zn) / 2f'(Zn)2)] * R
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • El exponente de Z es el número de raíces o atractores buscados (por defecto 3).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.
  • f'(Z) es la primera derivada de f(Z).
  • f''(Z) es la segunda derivada de f(Z).
  • La tolerancia viene dada por Norma de (f(Zn) / f'(Zn)) * [1 + (f(Zn)f''(Zn) / 2f'(Zn)2)] * R

    Householder Fórmula de Householder

SCHRÖDER

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Schröder para búsqueda de raíces: Zn+1 = Zn - (f(Zn) * f'(Zn) / (f'(Zn)2 - f(Zn) * f''(Zn))) * R
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • El exponente de Z es el número de raíces o atractores buscados (por defecto 3).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.
  • f'(Z) es la primera derivada de f(Z).
  • f''(Z) es la segunda derivada de f(Z).
  • La tolerancia viene dada por Norma de (f(Zn) * f'(Zn) / (f'(Zn)2 - f(Zn) * f''(Zn))) * R

    Schröder Fórmula de Schröder

STEFFENSEN

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Steffensen para búsqueda de raíces: Zn+1 = Zn - (f(Zn)2 / (f(Zn + f(Zn)) - f(Zn))) * R
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • El exponente de Z es el número de raíces o atractores buscados (por defecto 3).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.
  • La tolerancia viene dada por Norma de (f(Zn)2 / (f(Zn + f(Zn)) - f(Zn))) * R

    Steffensen Fórmula de Steffensen

LAGUERRE

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Laguerre para búsqueda de raíces: Zn+1 = Zn - (E / G + Sqrt((E-1)*(E x H - G2))) * R
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • El exponente de Z es el número de raíces o atractores buscados (por defecto 3).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.
  • La tolerancia viene dada por Norma de (E / G + Sqrt((E-1)*(E x H - G2))) * R

    Laguerre Fórmula de Laguerre

NOVA - MANDELBROT - NEWTON

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos C con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de C fijamos el valor inicial de Z a uno, calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Newton y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (f(Zn) / f'(Zn)) * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

    Nova - Newton Fórmula de Nova Newton

NOVA - JULIA - NEWTON

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Hacemos constante el valor C.
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Newton y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (f(Zn) / f'(Zn)) * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

NOVA - MANDELBROT - HALLEY

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos C con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de C fijamos el valor inicial de Z a uno, calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Halley y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (2f(Zn) * f'(Zn) / (2f'(Zn)2 - f(Zn) * f''(Zn))) * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

    Nova - Halley Fórmula de Nova Halley

NOVA - JULIA - HALLEY

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Hacemos constante el valor C.
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Halley y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (2f(Zn) * f'(Zn) / (2f'(Zn)2- f(Zn) * f''(Zn))) * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

NOVA - MANDELBROT - HOUSEHOLDER

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos C con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de C fijamos el valor inicial de Z a uno, calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Householder y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (f(Zn) / f'(Zn)) * [1 + (f(Zn) * f''(Zn) / 2f'(Zn)2)] * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

    Nova - Householder Fórmula de Nova Householder

NOVA - JULIA - HOUSEHOLDER

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Hacemos constante el valor C.
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método Householder y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (f(Zn) / f'(Zn)) * [1 + (f(Zn)f''(Zn) / 2f'(Zn)2)] * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

NOVA - MANDELBROT - SCHRÖDER

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Variamos C con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de C fijamos el valor inicial de Z a uno, calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método SchrÖder y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (f(Zn) * f'(Zn) / (f'(Zn)2 - f(Zn) * f''(Zn))) * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

    Nova - Schröder Fórmula de Nova Schröder

NOVA - JULIA - SCHRÖDER

  • Partimos de la función f(Z) = Ze - 1
  • Hacemos constante el valor C.
  • Variamos Z con las coordenadas del pixel analizado.
  • Por cada valor de Z calculamos el nuevo valor de Z utilizando el método SchrÖder y le sumamos la variable C: Zn+1 = Zn - (f(Zn) * f'(Zn) / (f'(Zn)2 - f(Zn) * f''(Zn))) * R + C
  • El proceso se itera mientras no se alcance la tolerancia deseada (por ejemplo 0,0000001).
  • La constante R sirve para acelerar o ralentizar la convergencia.

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« La ribera izquierda del río Vístula, medida con precisión creciente, daría resultados diez, cien, y hasta mil veces mayores que la longitud que aparece en los mapas »
Matemático y divulgador Hugo Steinhaus
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