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TALLER PRÁCTICO

Las manualidades que se proponen a continuación sirven para comprender de forma práctica la mecánica que interviene en la creación de estructuras fractales. Están ordenadas de menor a mayor complejidad.

 

CONTENIDO

  1. Fractalidad de la naturaleza

  2. Fractales vegetales

  3. Curva del dragón

  4. Triángulo de Sierpinski

  5. Dibujo de árboles fractales

 

FRACTALIDAD DE LA NATURALEZA

Benoît Mandelbrot en uno de sus primeros artículos planteó la pregunta «¿cuánto mide la costa de Gran Bretaña?» pues bien, su respuesta fué que «todo depende de aquello que desechamos en la medición, porque al ir contando cada vez con más precisión, debemos añadir el contorno de bahías, rocas, granos de arena, y así hasta niveles subatómicos»

De acuerdo a la observación de Mandelbrot, si al medir cualquier objeto tuviésemos en cuenta detalles cada vez más pequeños, veríamos que su longitud tiende a infinito dentro del espacio topológico que ocupa. Bien es cierto que la física impediría medir detalles más allá de cierto límite conocido como la longitud de Planck, momento en el cual se espera que el espacio deje de tener una geometría clásica, pero llegado ese punto la medición ascendería a una cifra inmanejable.

En el siguiente ejemplo se ha utilizado la herramienta de medición de distancias de Google Maps para medir la bahía formada por la toba volcánica de la isla Lehua, perteneciente a Hawái. Primero se ha medido viendo la isla desde lejos y se ha obteniendo una distancia de 2.112 metros. A continuación se ha vuelto a medir desde una distancia más próxima, y por lo tanto teniendo en cuenta más detalles, con lo que se ha obtenido una distancia de 2.305 metros. Al considerar más detalles de la fractalidad del terreno la segunda medición supera a la primera en 193 metros.


Fractalidad de la costa de Lehua desde lejos   Fractalidad de la costa de Lehua desde cerca

En Google Maps se pueden encontrar infinidad de fractales naturales. Busca y estudia la fractalidad de sistemas montañosos, cauces de ríos, líneas de costa, flujos volcánicos, etc.

 

FRACTALES VEGETALES

Al no tener la posibilidad de desplazarse, los vegetales se han especializado en la fabricación de su propio alimento y para ello han tenido que crear increíbles estructuras fractales. Gracias a estas estructuras son capaces de optimizar al máximo su exposición a los elementos que necesitan para vivir, como la luz, el agua y los minerales. Descubre e identifica las estructuras fractales de diferentes árboles y plantas.


Estructura fractal de una hoja de plátano

 

CURVA DEL DRAGÓN

Corta del lateral más largo de un folio una tira de papel de aproximadamente dos centímetros de ancho.

Con la tira en posición vertical une su extremo superior con el inferior y marca bien el doblez. Repite la operación hasta realizar en total cinco dobleces, siempre de arriba a abajo.

Ahora despliega el último doblez hasta formar un ángulo de noventa grados. Asegúrate de que el ángulo queda bien marcado y repite la operación hasta desplegar todos los dobleces. Con cada despliegue comprueba que siempre obtienes dos partes iguales y que todos los ángulos tienen noventa grados.

Después del proceso habrás obtenido la curva del dragón con cinco iteraciones:


Proceso de iteriación de la curva del dragón

 

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

Dibuja un triángulo equilátero. Con una regla marca el centro de cada lado y a continuación dibuja un triángulo invertido uniendo las tres marcas. Repite esta operación en todos los nuevos triángulos que se han formado y que tienen la misma orientación que el principal. Continúa el mismo proceso al menos dos veces más...

Para finalizar, colorea el interior de los triángulos que tienen la misma orientación que el principal y obtendrás el triángulo de Sierpinski:


Proceso de iteración del triángulo de Sierpinski

 

DIBUJO DE ÁRBOLES FRACTALES

Crea una plantilla a partir de este modelo imprimiéndolo y pegándolo sobre un cartón para que quede más resistente.

Dibuja a través de la plantilla recorriendo todo el surco, como si se tratase del tronco de un árbol con dos ramas.

Sobre una de las ramas coloca la plantilla de manera que se vea a lo largo del surco en la parte que corresponde al tronco, haciendo coincidir el extremo donde termina la rama con el punto de división del surco.

Dibuja a través de la plantilla dos nuevas ramas, pero esta vez desde el punto número 2. Repite el proceso sucesivamente en todas las nuevas ramas, restando un punto cada vez.


Proceso de iteración del árbol fractal


Plantilla para dibujar árboles fractales   Árbol fractal

Puedes crear plantillas modificando la longitud de las ramas y el ángulo que las separa. ¡Las posibilidades son infinitas!


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« Una vez que desarrollas el ojo matemático de fractales, los ves en todas partes, cada cosa que ves está descrita como una referencia de sí misma o de otra cosa »
Escritor y científico Arthur C. Clarke
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